Projection d'un vecteur sur une base orthonormée : exemple bidimensionnel



Ce simulateur propose de se familiariser avec les notions de projection d'un vecteur, de produit scalaire, coordonnées d'un point dans le plan. Cet outil fonctionne avec Adobe FlashPlayer (disponible gratuitement ici s'il n'est pas déjà installé dans votre navigateur).


Utilisation :

Agrippez l'extrémité du vecteur position OM et déplacez ainsi à votre guise le point M dans le plan. Dans la base {i,j} les composantes du vecteur OM sont notées traditionnellement x et y de telle sorte que ce vecteur OM s'écrit :

OM = x . i + y . j

Notez bien que les quantités vectorielles sont écrites en gras (e.g. OM) et pas les quantités scalaires (nombres, e.g. x).

Si la base {i,j} est orthonormée (i.e. i . i = j . j =1; i . j =0) alors les composantes x et y du vecteur position s'obtiennent via le produit scalaire :

x = OM . i

y = OM . j

de sorte que l'on a :

OM = (OM.i).i + (OM.j).j

Note : x et y sont également les coordonnées du point M, comptées depuis le point O et relativement aux vecteurs de base {i,j}. Attention : cette correspondance entre composante d'un vecteur et coordonnée d'un point n'est pas générale, cf. le cas des coordonnées polaires.

Quelques exemples de réflexions à développer :

  • où placer le point M telles que ses coordonnées soient x=4, y=2 ?
  • quel est le lieu des points M tel que le produit scalaire OM.i = 2 ?
  • quel est le lieu des points M tel que le produit scalaire OM.j = -3 ?

___________________________________________________________________________________________________


Retour page principale